kombinatoryka

Question

Witam, miałem ostatnio zadanie na sprawdzianie: Autobus, w którym jedzie pięciu pasażerów, zatrzymuje się na pięciu przystankach. Zakładając, że każdy pasażer może z tym samym prawdopodobieństwem wysiąść w dowolnym przystanku, wskaż prawdopodobieństwo tego, że każdy pasażer wysiądzie na innym przystanku.

podszedłem do tego tak że jedyną sytuacją w której każdy pasażer wysiądzie na innym przystanku jest sytuacja gdy na każdym postoju wysiądzie tylko jeden pasażer, więc obliczyłem to drzewkiem. na pierwszym przystanku szansa na to że wysiądzie 1 osoba wynosi 1/6 (albo nikt nie wysiądzie, albo 1 osoba, albo 2, 3,4,5) 2 przystanek od 0 do 4 czyli 1/5 trzeci 1/4, czwarty 1/3 piąty 1/1 ponieważ na ostatnim przystanku oczywiście już trzeba wyjść z autobusu. po wymnożeniu wszystkiego wychodzi 1/6*1/5*1/4*1/3*1 = 1/360, poprawną odpowiedzią było 24/625 i teraz następuje moje pytanie - gdzie jest błąd w moim rozumowaniu? nie pytam się o to jak inaczej można łatwiej rozwiązać to zadanie tylko o to gdzie w moim rozumowaniu jest błąd więc prosze nie pisać mi tutaj że mogłem omege obliczyć itd.

Answer 1

Na każdym przystanku może wysiąść każdy. Czyli zbiór wszystkich możliwych rozwiązań to 5^5

Zdarzenie A polega na tym, że każdy wysiadł na innym przystanku zdarzeń takich mamy 5!

Ώ = 5^5

à = 5!

P(A) = Ã / Ώ  = 5^5 / 5! = 24/625

Comments

moje pytanie - gdzie jest błąd w moim rozumowaniu? nie pytam się o to jak inaczej można łatwiej rozwiązać to zadanie tylko o to gdzie w moim rozumowaniu jest błąd więc prosze nie pisać mi tutaj że mogłem omege obliczyć itd.

---

Nie doczytałem do końca. Mój błąd ;)

---

Według twojego rozumowania to nikt nie musi wysiąść z autobusu i wszyscy mogą pojechać dalej ;)

Obliczyłeś szansę, że taki przypadek nastąpi

---

nikt nie musi wysiąść przez pierwsze 4 przystanki, na ostatnim już nie ma 1/2 tylko 1 więc już dalej nikt nie pojedzie po ostatnim przystanku ;p

---

Nie? Wysiądzie jedna osoba,  4 przejada dalej. Tak wynika z tego drzewka.

---

przez pierwsze 4 przystanki równie dobrze może wysiąść 0 osób (co prawda wtedy nie spełni się sytuacja że każdy wysiądzie na innym przystanku ale jest taka możliwośc) jeśli na 5 przystanku wysiądzie 5 osób, a błąd w drzewku pojawiłby się w sytuacji gdyby skończyły się już przystanki a ktoś dalej by nie wysiadł. ja tutaj rozwijąłem gałęzie tylko gałęzie które spełniały założenia zadania (bo po co obliczać prawdopodobieństwo sytuacji która nie jest opisana w zadaniu np, wszyscy wysiadają na pierwszy przystanku) i dałem na piątym przystanku dla ostatniego pasażera szanse 1/1 że wysiądzie więc nikt nie jechał po skończeniu się przystanków

---

Podając jako pierwsze prawdopodobieństwo 1/6 dalej kolejno 1/5...1/3 1/1 pokazujesz, że  mozliwym jest w tym przypadku, że ktoś przejedzie dalej, zastanów się tylko.

Answer 2

Zacznijmy od tego, że już na początku masz błąd w rozumowaniu. Na pierwszym jak już to jest 5 opcji do wyjścia, nie 6(nie liczymy opcji, że nikt nie wysiadł skoro na każdym ktoś ma wysiąść). Z resztą sposób też jest zły, nie powiem Ci co zmienić, żeby był poprawny bo dla mnie drzewko tutaj jest bez sensu(ta "omega itp." liczy się króciutko i przejrzyście).

Answer 3

Prawdopodobieństwo, że na pierwszym przystanku wysiądzie jedna osoba nie wynosi 1/6. Przede wszystkim prawdopodobieństwo, że nikt nie wysiądzie na tym przystanku wynosi (4/5)^5, czyli szansa, że ktokolwiek wysiądzie równa się 2101/3125 (1-(4/5)^5).

Kolejna sprawa to, że ktokolwiek nie znaczy, że tylko jedna osoba. Napisałem prosty skrypt w Pythonie i wyszło mi, że wśród tych 2101 sytuacji gdzie ktokolwiek wysiada na pierwszym przystanku tylko w 1280 wysiada jedna osoba. Ostateczne prawdopodobieństwo, że jedna osoba wysiądzie na pierwszym przystanku wynosi więc 256/625 a nie 1/6.

Dalej jadą już cztery osoby i jedna z nich musi wysiąść na kolejnym przystanku tutaj prawdopodobieństwo wynosi 108/256 (zamist 1/5). Na trzecim 12/27, na czwartym 1/2 i na piątym 1. Po wymnożeniu wszystkich tych wartości dostajemy 24/625

Ogólnie twój błąd polegał na policzeniu prawdopodobieństwa, że jedna osoba wysiądzie na danej stacji. (co nie zmienia faktu, że podejście pokazane przez @Bosswell jest znacznie lepsze do tego zadania, można to policzyć też twoją metodą, ale bardzo dużo czasu straciłbyś na wyliczenie prawdopodobieństwa, że jedna osoba wysiada na danej stacji)

EDIT: Żeby policzyć jakie jest prawdopodobieństwo że jedna osoba wysiada na danej stacji możemy (zamiast pisać skrypt w pythonie) po prostu policzyć 1/5 * (4/5)^4 * 5

1/5 - szansa, że konkretna osoba wysiądzie na tym przystanku

(4/5)^4 - szansa, że żadna z pozostałych 4 osób nie wysiądzie na tym przystanku

5 - bo mamy pięć osób i dowolna z tych 5 może wysiąść

Dla drugiego przystanku analogicznie (zostały już tylko 4 osoby i 4 możliwe stacje): 1/4 * (3/4)^3 * 4

Dla trzeciego: 1/3 * (2/3)^2 * 3

Dla czwartego: 1/2 * (1/2)^1 * 2

Dla piątego 1/1 * (1/1)^0 * 1, czyli po prostu 1