równanie z liczbami zespolonymi jak rozwiązać

Question

Witam

Mam takie oto zadanie:

w zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie  

3z sprzęrzone ^2=2z+1.

Czy ktoś morze mi pomóc rozwiązać to zadanie bo stanołem na miejscu 3x^2-6x3iy+9 i^2 y^2=2x+2iy+1

i nie wiem co dalej. Z góry dziękuje za pomoc

Comments

mn130496, czy mógłbyś te równanie napisać bardziej matematycznie, ponieważ nie bardzo rozumiem co ma być sprzężone do czego?

---

Więc tak w miejsce z wstawiam x+iy a tam gdzie jest z sprzęrzone wstawiam x-iy

to będzie tak: 3*(x-iy)^2=2* (x+iy)+1

Answer 1

3*(z sprzężone)^2=2z+1

3*(a-bi)^2=2*(a+bi)+1

3*(a^2-2abi+b^2*i^2=2a+2bi+1

3*(a^2-2abi-b^2)=2a+2bi+1

3a^2-6abi-3b^2=2a+2bi+1

-------------------------------

3a^2-6abi-2a=1

-6ab=2b/:b

-6a=2

a=-1/3

----------------------

3*(-1/3)^2-6*(-1/3)bi-2*(-1/3)=1

3*1/9+2bi+2/3=1

1/3+2bi+2/3=1/*3

1+6bi+2=3

6bi=0

b=0

-----------------------------

Sprawdzenie:

3*(-1/3-0i)^2=2*(-1/3+0i)+1

3*(1/9)=-2/3 + 1

1/3=3/3  - 2/3

1/3=1/3

Korzystałem z tego:

http://obliczone.pl/zadania/liczby-zespolone/r%C3%B3wnania-zespolone/448-zad-4

https://www.matemaks.pl/liczby-sprzezone.html

Dodatkowo, żeby sprawdzić, czy dobrze rozwiązałem zobaczyłem wynik w WolframAlpha:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=3*(a-bi)%5E2%3D2*(a%2Bbi)%2B1

Comments

dziękuję za pomoc

Answer 2

Ja bym zaczął od przeniesienia wszystkiego na lewą stronę, następnie podniósł z sprzężone do kwadratu

3*(x^2 -2ixy -y^2) -2x - 2iy +1 =0

3x^2 -6ixy -3y^2 -2x -2iy +1=0

następnie odpowiednio grupujemy działania, na działania na części Re i części Im

3x^2-y^2 -2x +1 =0

i

-6xy -2y=0 (tutaj już możemy pominąć w zapisie symbol jednostki urojonej i)

i tutaj już liczymy jak zwykłe działanie