Utworzone połączenie przypisujesz w metodzie do zmiennej $db_connect, a potem je zwracasz.
Zamiast return $db_connect; przypisz połączenie do atrybutu tego obiektu, czyli
$db_connect = @new mysqli("localhost", "root", "", "$db_connect");
$this->db_connect = $db_connect;
Specjalnie napisałem to w linii niżej, żebyś to zobaczył.
Oczywiście powinna być również metoda do zamykania połączenia.
Atrybuty połączenia warto zamieścić w innym pliku konfiguracyjnym, który potem załączysz do projektu.