Do tego potrzebna Ci jest klasa Service. Tylko uważaj, metody w serwisie odpalane są na wątku głównym aplikacji więc wszystkie wywołania sieciowe muszą się odbywać na innych wątkach. Co więcej system może zabić nawet serwis (nawet foreground service). W androidzie nie ma niestety 100% gwarancji, że Twoja aplikacja będzie działać już w nieskończoność po jednokrotnym odpaleniu.