Potrzebujesz publicznego stałego adresu IP. Jeśli nie masz publicznego to jest problem, trzeba kombinować lub próbować dostać takowy u usługodawcy. Jeżeli masz zmienny, ale publiczny, to możesz skorzystać z jakiegoś DDNSa, wtedy pod jakąś subdomeną będziesz to miał lub również pytać u usługodawcy czy można dostać stały adres. Następnie na routerze musisz otworzyć odpowiednie porty i przekierować je na Raspberry, jeśli to tylko HTTP i HTTPS to 80 i 443. Ewentualnie możesz wystawić je do strefy zdemilitaryzowanej, to wtedy wystawia się całość. Na serwerze instalujesz potrzebne rzeczy, jeśli tylko HTTP i HTTPS to serwer www np. Apache czy Nginx, do tego jeżeli potrzebujesz to PHP, MySQL czy inną bazę itd.
Jeśli chodzi o podpięcie domeny to potrzebujesz na początek serwerów DNS, aby ją na nie skierować. Czasem takowe oferuje za darmo rejestrator domeny, jak nie to są jakieś inne płatne/darmowe, ewentualnie można postawić takowe samemu (nigdy tego nie robiłem). Gdy domena jest już na jakichś serwerach DNS ustawiasz rekord A na Twoje publiczne stałe IP. Jeżeli masz zmienne IP i skorzystałeś z jakiegoś DDNSa to możesz przy domenie dodać rekord CNAME na nazwę subdomeny od usługi DDNS.
Sam napisałeś, że pomijasz jak to będzie działało, więc mam nadzieję, że to wiesz. Warto pamiętać, że w domowych warunkach zapewne nie masz odpowiedniej infrastruktury, aby stawiać normalne strony żeby to jakkolwiek sensownie działało. Raspberry raczej też zbyt mocnym sprzętem nie jest :)