Jeśli chcesz korzystać z gotowych "bibliotek" to API się nie buduje, tylko sie z niego korzysta. API to właśnie zestaw tych funkcji, z których się korzysta. Tutaj definicja i szczegóły jeśli chcesz.
Dla Androida, oficjalnym API (od Google'a) jest Android SDK, więc jeśli chcesz sie nauczyć programować na Androida to wpisz sobie w Google "Android SDK tutorial". Aplikacje na Androida programuje się w Javie, na iOS w języku Swift. Dla Windows w C#.
Istnieją też API, dzięki którym możesz napisać jedną aplikację, która będzie działać na wszystkich popularnych mobilnych systemach, ale jak można się domyślać są mniej wydajne niż "natywne" API dla konkretnych systemów.
Co do Facebook'a na Androidzie to Tutaj znajdziesz informacje, a o bazach danych możesz poczytać w ramach tutoriali na konkretne systemy. Często używaną bazą danych w aplikacjach moblinych jest SQLite.