Matematyka - dowód wzoru dwumianowego Newtona

pytanie zadane 29 października 2016 w Matematyka, fizyka, logika przez thekibi27 Bywalec (2,110 p.)

Witam!

Pytanie jest wyłącznie matematyczne, ale być może któryś z forumowiczów będzie w stanie mi pomóc. Sformułowałem je na stronie matematyka.pisz, ale nie otrzymałem odpowiedzi (link: TUTAJ). Chodzi o wytłumaczenie jednego przejścia w równaniu dowodu, gdzie a^(n+1) w następnym równaniu zapisano jako (n+1 0) a^n.

Ciężko to tutaj zapisać (n+1 0), ale chodzi tu o zbiór i podzbiór (n k).

1 odpowiedź

odpowiedź 29 października 2016 przez Benek Szeryf (92,410 p.)

To jest dowód przez indukcję. Wychodzisz z założenia, że:

(a + b)^n = sum(k=0 -> n) z (n po k) * x^(n-k) * y^k

działa dla dowolnego n. Na podstawie tego założenia musisz pokazać, że dla n+1 zachodzi taki sam wzór, tylko zamiast n podstawiasz n+1. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem#Inductive_proof. W Twojej wiadomości pominiętych jest sporo kroków, dlatego nie bardzo wiesz jak upraszcza się wyraz na pierwszej pozycji. Niestety to tak prosto nie działa, bo (n po 0) da zawsze 1, tak więc a^n =/= a^(n+1).

komentarz 29 października 2016 przez thekibi27 Bywalec (2,110 p.)

To rozumiem, mam zapisane wszystkie przekształcenia (a+b)^n+1 do zapisu, który kończy dowód, ale nie rozumiem jednego przejścia, wyżej opisanego. Wejdź w link, tam mogłem to lepiej przedstawić w równaniu.

komentarz 29 października 2016 przez Benek Szeryf (92,410 p.)
edycja 29 października 2016 przez Benek

Ten pierwszy wyraz może się tylko zamienić w momencie, gdy po drodze n przechodzi w n+1 w górnej granicy sumy. Innymi słowy miałeś gdzieś zamianę indeksów w wyrażeniu sumy, ale zmiany tej nie miałeś w wyrażeniu (n po k). By sobie to unaocznić, spójrz tutaj na dowód: https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/binomial_thm/induction.html i porównaj drugie z kolei wyrazy w 4. i 5. przekształceniu. Tam właśnie dochodzi do takiej zamiany. Na stronie do której linkujesz, wprost tej zmiany nie widać, bo pominąłeś sporą liczbę kroków, tak więc palcem nie jestem w stanie Ci wskazać konkretnego przejścia w Twoim konkretnym wyprowadzeniu.