Dwumian Newtona | Indukcja matematyczna | Jak rozwiązywać?

Question

Witajcie,

mam do wykonania następujące dowody z dwumianem Newtona:

Jak należy udowadniać zadania z dwumianem Newtona? Czy we wszystkich tych zadaniach mogę użyć indukcji? Mam co do tego wątpliwości już w zadaniu 1.

Pozdrawiam!

Answer 1

U mnie na studiach takie rzeczy udowadniało się poprzez podanie kombinatorycznego przykładu np do zadanie pierwszego:
Lewa strona równania opisuje: z n miejsc wybieramy r miejsc, na których stawiamy literę "a" lub "b", na nie wybranych miejscach stawiamy literę "c"
Prawa strona równania opisuje: dla każdego z n miejsc wybieramy literę "a", "b" lub "c".
Przykłady które podałem są równoważne więc i równanie musi być prawdziwe.

Edit: Do drugiego zadania już może być ciężko ułożyć kombinatoryczny przykład przez tą minus jedynkę.

Edit2: W trzecim zadaniu chyba jest coś nie tak. Lewa strona jest dwa razy mniejsza od prawej.