Cześć!
W twoim kodzie nie ma formularza. Żeby zatwierdzić formularz np. klikając enter, gdy aktywne jest pole e-mail potrzebujesz znacznika <form>, także przydałby się jakiś przycisk do zatwierdzania (nie wszyscy wiedzą, że naciskając enter zatwierdza się formularz), np. <button> lub <input type="submit">.
Zobacz formularz, który działa:
<form>
<div class="form-group">
<label for="name">Twój e-mail</label>
<input type="text" name="email" placeholder="<?php echo $user[2]; ?>" required value="<?php if($error) echo $email; ?>" class="form-control" />
<span class="text-danger"><?php if (isset($email_error)) echo $email_error; ?></span>
</div>
</form>
Jeżeli chcesz, żeby formularz wysyłał się za pomocą metody POST to taki kod:
<form method="post">
<div class="form-group">
<label for="name">Twój e-mail</label>
<input type="text" name="email" placeholder="<?php echo $user[2]; ?>" required value="<?php if($error) echo $email; ?>" class="form-control" />
<span class="text-danger"><?php if (isset($email_error)) echo $email_error; ?></span>
</div>
</form>