Możesz zamiast switch-a użyć tablicy.
//const date = document.querySelector('.date');
//const time = document.querySelector('.time');
function dateAndTime()
{
const months = [ 'Stycznia', 'Lutego', 'Marca', 'Kwietnia', 'Maja', 'Czerwca',
'Lipca', 'Sierpnia', 'Września', 'Października', 'Listopada', 'Grudnia' ];
const dateToShow = new Date();
const day = dateToShow.getDate();
const month = dateToShow.getMonth();
const year = dateToShow.getFullYear();
const hour = dateToShow.getHours();
const minutes = dateToShow.getMinutes();
const seconds = dateToShow.getSeconds();
//date.textContent = day + ' ' + months[month] + ' ' + year;
console.log(day + ' ' + months[month] + ' ' + year);
}
dateAndTime();