Użyj Math.random do wylosowania liczby z zakresu indeksów tablicy i tą liczbę podstaw pod indeks elementu, do którego chcesz się odwołać w tablicy.
W przypadku obiektu sprawa jest o tyle trudniejsza, że klucze propertisów przyjmują zazwyczaj nazwę w postaci stringa. Więc żeby odwołać się do losowego property, najpierw potrzebujesz mieć zbiór tych nazw - możesz go odczytać np. przez Object.keys. Na takiej tablicy kluczy możesz odczytać losowy klucz korzystając ze wspomnianego Math.random i już wylosowanym kluczem odczytać wartość propertisa.