Masz kilka błędów w kodzie PHP/HTML i jeden w konstrukcji SQL (również bardziej od strony PHP). Ale do początku.
W znaczniku formularza (linijka 56) użyłeś błędnego atrybutu (dwa razy action zamiast action i method). Poniżej poprawnie:
<form action="index.php?mode=sportowcy" method="post">
Drugi element to błędny IF (linijka 75). Nie pytasz o submit tylko o konkretnego submita (czyli jego name). Poniżej poprawny IF:
if(isset($_POST['dodaj']))
Trzeci błąd/błędy to zła obsługa OPTIONÓW (i za krótki SELECT) oraz przekazywanie błędnej wartości do INSERTA. Najpierw trzeba pobierać IDki z tabel - gdyż insertujesz później (do tabeli sportowcy) IDki płci i statusu, a nie nazwy.
Więc SELECTY popraw tak (linijki 49-51):
$plec='SELECT DISTINCT * FROM plec';
$wynik=$connect->query($plec);
$status='SELECT DISTINCT * FROM status';
Lub bardziej bezpiecznie:
$plec='SELECT DISTINCT plec_id, plec FROM plec';
$wynik=$connect->query($plec);
$status='SELECT DISTINCT status_id, status FROM status';
I na koniec - trzeba poprawić OPTIONY (linijki 62 i 67) - do VALUE musisz dawać wartość z kolumny ID a nie z NAME:
echo"<option name='$typ1->plec' value='$typ1->plec_id'> $typ1->plec</option>";
echo"<option name='$typ2->status' value='$typ2->status_id'> $typ2->status</option>";
I powinno działać!