Jest prawie okej, podczas wysyłania formularza, odbierasz postem dane z captchy z formularza i wysyłasz zapytanie do API Captchy Google i Ci zwraca wynik czy captcha została prawidłowo zatwierdzona.
Musisz zmienić warunek w instrukcji warunkowej, z
if ($result['success'] == 1)
na
if ($result['success'] == true lub false)
ponieważ API Google zwraca wartość SUCCESS jako typ logiczny. Wtedy warunek powinien się spełniać.
Możesz także użyć funkcji var_dump i podejrzeć co jest w środku odpowiedzi z API googla