Trywialne miejsca zerowe funkcji dzeta

Question

Witam.

Na kanale Pasja informatyki niedawno widziałem może i nie najnowszy, ale za to bardzo ciekawy materiał zawierający przystępnie przekazaną treść odnośnie hipotezy Riemanna, a mianowicie: "Przekleństwo liczb pierwszych". Ciekawi mnie jedna pewnie banalna kwestia: jak policzyć trywialne miejsca zerowe ??? Dla x= -2, -4, -6, -8 itp. funkcja przyjmuje wartość 0, ale dlaczego musimy korzystać tutaj ze wzoru wykorzystującego liczby Bernouliego? Jest to istotne z tego względu, że przyjmując za x=-1 szereg przyjmuje postać sumy wszystkich liczb naturalnych. Oczywiście po odpowiednim przekształceniu suma wszystkich liczb naturalnych może dać wartość -1/12 i nie mówię tutaj o korzystaniu z liczb Bernouliego, chociaż skorzystanie z nich również da taki wynik. Szereg rozbieżny nie ma skończonej sumy i niektórzy przekonują, że czysto teoretycznie wartość -1/12 przyjmuje się jako sumę wszystkich liczb naturalnych do pewnych kalkulacji w fizyce (podobnie jak "liczby zespolone") i że wyliczanie wyniku dla ciągu rozbieżnego wprowadza tylko zamieszanie. Tak samo jest dla pozostałych ujemnych liczb całkowitych czyli szereg jest rozbieżny. Korzystając z odpowiedniego wzoru i liczb Bernouliego faktycznie x= -2,-4,-6 itp. daje wartość "0", ale ja jakoś nie widzę tego zera jak będę podstawiał te liczby to wartości wykazują tendencję rosnącą... Mam jeden argument no to go podstawiam i wyniki za grosz intuicyjne nie są. No chyba że podstawiam dodatnie argumenty, które wtedy logicznie wskazują pewne wartości już po kilku podstawieniach x=2 z każdym rosnącym n wartość faktycznie zbliża się do (pi^2)/6 Jak to pojąć ?To wygląda tak, jakbyśmy do zbieżnego ciągu podstawiali po prostu odpowiednie cyfry/liczby za "x", a do rozbieżnego korzystali ze wzoru opierającego się na liczbach bernouliego. I pewnie słusznie, bo wiele tęgich głów przyjmuje te miejsca za zerowe, tylko czy ktoś w miarę prosto może mi wyjaśnić dlaczego tak się dzieje?

Comments

To jest przykład pytania, które jest niewłaściwe zadane. Jest tak dużo tekstu, że nie chce mi się przez to wgłębiać. Powierzchowny rzut oka na tekst sugeruje, że zadałeś kilka pytań. Chcesz pomocy, zadaj konkretne pytanie. Krótko i na temat.

---

Pytanie może i jest niewysokich lotów, ale nie wiem czy można go nie zrozumieć - chyba tylko wtedy, gdy nie chce się przeczytać tych kilku zdań. Otrzymywałem wiadomości w stylu: "no właśnie jak to jest z tymi miejscami zerowymi, mam takie same spostrzeżenia" itp. Widać, że autorem pytania (ja) jest osoba, która nie miała pojęcia o funkcji dzeta, przedłużeniach analitycznych itp., a sam tekst mimo, że jest go dużo, to kręci się w okół tego samego. Pytanie zadałem dość dawno i postanowiłem się nie chwalić, że zrozumiałem te najbardziej banalne kwestie związane z funkcją dzeta w tym obliczanie trywialnych i nietrywialnych miejsc zerowych, rolę liczb Bernouliego itp.

Mimo wszystko dzięki za zainteresowanie.

Answer 1

Ok, wróciłem do Twojego postu i chyba wiem, gdzie masz problem. Twój kłopot polega na tym, że intuicji ufasz bardziej niż dowodom matematycznym. Postaram się jakoś naprowadzić Cię na właściwe tory, choć pewnie będzie to trudne. Ważne, byś od razu się nie zniechęcał, tylko sobie przeanalizował wszystko, co napiszę. To tak jak ktoś powie, że żyjemy w 4-wymiarowym świecie (czasoprzestrzeń), a od razu takie podejście się odrzuca, bo intuicyjnie postrzegamy przestrzeń jako 3-wymiarową, a zauważ, że satelity GPS w obliczaniu pozycji uwzględniają Szczególną Teorią Względności (4 wymiar jako czas). Nie są to więc bajki. Do rzeczy.

Zacznijmy od udowodnienia, że funkcja dzeta dla s = -1 przyjmuje wartość -1/12. Póki co dla s=-2, -4, -6, -8 nie będę tego udowadniał. Funkcja dzeta jest zdefiniowana jako suma:

d(s) = sum(1/(n^s)) =
= 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ...

Weźmy s = - 1:

d(-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + ...

i wykorzystajmy dwa pomocnicze szeregi:

S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2
S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + ... = 1/4

Tutaj na pewno powstanie pytanie skąd wiemy, że sumy tych szeregów są skończone. Dowody są dość proste:

1 - S1 = 
= 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...) = 
= 1 - 1 + 1 - 1 + ... =
= S1

Powyższe przekształcenie możemy wykonać tylko dlatego, że te szeregi są nieskończone. Jeśli utniesz szereg np. dla n=245465475431 wyrazu, to powyższa tożsamość będzie nieprawdziwa. Innymi słowy nieskończoność podzielna na 2 to wciąż nieskończoność. Idąc dalej:

1 - S1 = S1
2S1 = 1
S1 = 1/2

S2 + S2 = 
= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... + 
+ 0 + 1 - 2 + 3 - 4 - ... = 
= 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 
= S1

2S2 = S1
S2 = 1/4

Na początku dokonaliśmy przesunięcia, tzn. od drugiego wyrazu pierwszego szeregu odjęliśmy pierwszy wyraz drugiego szeregu (stąd uzupełniłem drugi szereg na początku zerem) itd. Dzięki tym szeregom łatwo wykazać, że nieskończona suma kolejnych liczb naturalnych zbiega do -1/12.

d(-1) - S2 =
= 1 + 2 + 3 + 4 + ... -
- (1 - 2 + 3 - 4 + ...) =
= 0 + 4 + 0 + 8 + ... =
= 4(1 + 2 + 3 + ...) =
4d(-1)

d(-1) - S2 = 4d(-1)
-3d(-1) = S2
-3d(-1) = 1/4
d(-1) = -1/12

Także jak widzimy, nie potrzeba było tutaj skomplikowanej matematyki. Intuicja mówi nam, że sumując dodatnie liczby w nieskończoność, powinniśmy otrzymać nieskończoną sumę. Ale tak nie jest. Problem jest taki, że nie jesteśmy w stanie doliczyć się do nieskończoności, więc trudno ludziom to przyjąć. Ty masz raczej problem natury filozoficznej.

Comments

Dziękuję Ci za wyczerpującą odpowiedź, ale ja raczej miałem problem z intuicją, bo od dwóch lat go nie mam. Nie zajmowałem się nigdy szeregami i to była dla mnie nowość. Sam nad tym posiedziałem i dotarłem do tego co napisałeś. Już rozumiem też skąd się biorą trywialne i nietrywialne miejsce zerowe funkcji Dzeta, dlaczego są takie wartości a nie inne oraz jaką rolę pełni przedłużenie analityczne.

Niemniej jednak dziękuję!

---

@Benek, ale skąd nagle sie bierze S1 i S2 co to jest i po co skoro 
1 + 2 + 3 + 4... to sie poprostu = nieskonnczona liczba 
jakby skad sie wzieły minusy do jakis liczb tez z niewiadomo skąd wzietych S1 i S2


a co do hipotzey riemanna czymkolwiek są te zera to są opisane raczej zle bo po prawej stronie są pionowe i pełno wynikow jest dla czesci rzeczywistej 1/2 a to nie mozliwe bo nie ma sensu zapis wielu liczb wartych tyle samo bo niby zero a po lewej zera są na czesci urojonej a to co podstawiono do funkcji zeta jest na rzeczywistej(a po prawej na czesci rzeczywistej jest 1/2 na czesci urojonej niewiadomo co a zera nie ma. totalny bezsens

 

Answer 2

Polecam publikacje Krzysztofa Maślanki "Kwanty i liczby", oraz publikacje Marka Wolfa "spojrzenie fizyka na hipotezę Riemanna".Oraz wykład Pana Tomasz Milera z centrum Kopernik.