W czym masz dokładnie problem? Wszystko jest wytłumaczone w kroku drugim + https://developers.google.com/recaptcha/docs/verify.
Użyj
file_get_contents(url?secret='secret_key'&response='wartosc g-recaptcha-response z formularza')
json_decode(file_get_contents(caly_url))
do sprawdzenia captch:
json_decode(file_get-contents(url))->success
chyba, że chodziło tylko o html
<script src='https://www.google.com/recaptcha/api.js'></script> // js
<div class="g-recaptcha" data-sitekey="__key__"></div> // do formularza