Trochę na około, ale spróbuj potworzyć sobie trochę wirtualnych kart dźwiękowych[1], a potem użyj jakiegoś extensiona do Chrome do automatycznego wyboru wyjścia dźwięku per tab[2]. Wtedy w OBS możesz przechwycić dźwięk z tych wirtualnych kart dźwiękowych.
[1] nie wiem co masz za OS; pod Windowsa kiedyś używałem VB-CABLE; pod linuxem można to zazwyczaj z linii poleceń zrobić
[2] coś typu AudioPick - nie testowałem, po prostu pierwsze co mi wyskoczyło w Google