Twierdzenia z prawdopodobieństwa

Question

Witam,
Czy byłby ktoś w stanie pomóc mi wykazać poniższe twierdzenia?
Pozdrawiam.

Comments

Poszukaj wzorów na wartość oczekiwaną oraz wariancję. Na przykład w pierwszym zadaniu, podpunkcie (c) wystarczy skorzystać ze wzoru, to jest zamienić na całkę, skorzystać z addytywności, wyłączyć stałe przed całki i w zasadzie gotowe.

Answer 1

a co już masz? Co sam zrobiłeś?
musisz to zrobić poprzez indukcje i skorzystać ze wzorów
Rozkłady na liczbach znajdziesz tu : https://dydmat.mimuw.edu.pl/rachunek-prawdopodobienstwa-i/zmienne-losowe-i-ich-rozklady-0

https://www.am.szczecin.pl/uploads/imfich/Rachunek_prawdopodobiestwa.pdf
Tu masz przykładowe zadania, sposoby na rozwiązywanie
http://wyznacznik.pl/zmienne-losowe-ciagle-zadania

Comments

Z tą indukcją bym się nie zapędzał tak bardzo. Wystarczy korzystać z odpowiednich wzorów na wartość oczekiwaną i wariancję.

Answer 2

Wszystkie te zadania opierają się na tym, że wartość oczekiwana to CAŁKA WZGLĘDEM MIARY (probabilistycznej).

Zadanie 2:

1. Wartość oczekiwana to całka względem miary. Całka z funkcji nieujemnej jest nieujemna.

2.  Moduł z całki jest mniejszy równy od całki z modułu.

3. Całak jest liniowa.

Zadanie 3:

1. Wariancja to całka ze zmiennej losowej E((X-EX)^2), czyli nieujemnej, wiec jest nieujemna

2. wyciagasz lambdę z kwadratu i masz lambda kwadrat, a potem znów - całka jest liniowa więc wyłączasz stałą przed całkę

3. Jak przesuwasz zmienną X  o lambdę, to jej EX też się przesunie o lambdę, więc lambdy się skrócą w różnicy

4. Całka z funkcji nieujemnej jest zerowa wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ta jest zerowa prawie wszędzie. Zatem X musi być równa wartości oczekiwanej X prawie wszędzie, zatem X musi być stała prawie wszędzie (prawie wszędzie = z prawdodpobieństwem 1, pisałem tak bo szybciej).