granice ciągu

Question

witam

mam za zadanie policzyć granicę ciągu :

a) (1+2+...+n) / n ^2

b) sqrt(n^2 + 4n+1) - sqrt(n^2+2)

Niestety nie za bardzo wiem jak:

w podpunkcie a zabrać się za liczenie tej granicy to znaczy wiem że metodą jest wyciągnięcie największej potęgi przed nawias ale nie wiem jak rozumieć te kropki i jak to wszystko zapisać. Co do podpunktu b wiem że trzeba pomnożyć to przez sprzężenie tylko w momencie jak zapisze to to wychodzą mi jakieś działania z którymi nie mogę sobie poradzić. Czy ktoś mógłby mi pomóc w rozwiązaniu tych granic?. Z góry dziękuję

Answer 1

1. Kropki oznaczają kolejne liczby (3, 4, 5, i ta dalej aż do n-1). W liczniku masz sumę, zatem podziel każdy składnik sumy przez mianownik i wtedy policz granicę.

2. Tak, należy pomnożyć i podzielić przez wyrażenie ale ze znakiem plus pomiędzy pierwiastkami.

Podpowiedzi i przykładów poszukaj na Matemaksie - Matematyka maksymalnie prosta (dział Studia).

Comments

W pierwszym do n, nie do n-1. Generalnie nie dzielimy każdego składnika, a po prostu robimy z tego "wzór"(chyba, że to miałeś na myśli) i będzie. Mamy wzór ogólny an=1+(n-1)*r. Wieć an=n. Wzór na sumę to sn=((a1+an)/2)*n po podstawieniu mamy sn=((1+n)/2)*n. Uprościć, podzielić przez n^2 i mamy granicę.

---

Pytający pytał o kropki, a te oznaczają w jego przypadku pominięte liczby, czyli te, które mu podałem. Z drugą częścią faktycznie się pospieszyłem, mamy wyrażenie typu inf/inf, czyli należy zsumować "górę". Ale po rozwinięciu wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego i tak będzie musiał rozbić całość na 3 ułamki.

---

Myślałem o tej części. 

Kropki oznaczają kolejne liczby (3, 4, 5, i ta dalej aż do n-1).

Z tego co kojarzę to jest to szereg rozbieżny, więc sigma od 1 do n.

W praktyce wystarczy jeden. Mając to sn=((1+n)/2)*n i już po podzieleniu przez n^2 mamy (n+1)/2n. Granica z tego, to 1/2. Oczywiście przy założeniu, że granica zbiega do plus nieskończoność. 

---

Siadaj, bardzo dobrze :)