Jedna odpowiedź padła, ale nie jest w zupełności wystarczająca. Domyślam się, że to całkiem szkolne zadanie, ale mimo wszystko warto wiedzieć trochę więcej.
Zacznijmy od przykładu. Zdefiniujemy sobie funkcję f: R -> R, f(x) = x^2. Czy funkcja jest suriekcją? Jeśli tak jest, to dla każdego elementu y przeciwdziedziny, czyli zbioru, w którym znajdują się wartości funkcji f istnieje taki element x, że f(x) = y
Czy tu mamy do czynienia z suriekcją? Nie, bo weźmy sobie z przeciwdziedziny element y = -1. Czy znajdziemy takie x, że f(x) = -1? Naturalnie, że nie, bo dobrze wiemy, iż kwadrat jakiejkolwiek liczby jest liczbą nieujemną. Stąd taka funkcja nie jest suriekcją.
A co, gdyby zdefiniować funkcję inaczej? Dajmy na to f: R -> [0, +nieskończoność), f(x) = x^2. Tutaj mamy do czynienia z suriekcją. Jak to sprawdzić w prosty sposób?
Niech f: R -> [0, +nieskończoność), f(x) = x^2. Przypuszczając, że f(x) = k, mamy, że x^2 = k, więc |x| = sqrt(k), stąd x = -sqrt(k) lub x = sqrt(k). I widzimy, że skoro k było dowolne, to w ten sposób dla każdego elementu ze zbioru [0, +nieskończoność) istnieje taki element ze zbioru R, że f(x) = k
Jak to się ma do przykładu na zdjęciu?
f(x) = (2x + 1)/(4x + 3) i przypuśćmy, że f(x) = k. Wtedy równoważnie mamy 2x + 1 = k(4x + 3), co nam daje 2x + 1 = 4kx + 3k. Tutaj wyznaczymy sobie z równania zmienną x:
2x - 4kx = 3k - 1
x(2 - 4k) = 3k - 1
x = (3k - 1)/(2 - 4k), oczywiście 2 - 4k =/= 0
Ale co nam to daje? Ano daje to, że dla k = 1/2 nie ma to równanie sensu! Za to widać, że liczba k = 1/2 należy do przeciwdziedziny funkcji (bo domyślnie mamy funkcję f: R -> R), tak więc nie znajdziemy takiego x z dziedziny, że f(x) = 1/2.
I właśnie w taki sposób należy rozwiązywać zagadnienia odnośnie suriekcji, bo czasem nie decyduje o suriekcji sam wzór funkcji, a przeciwdziedzina, którą rozpatrujemy :)
