Jeśli strona jest statyczna, to możesz wysłać do niej Ajax metodą GET. To zwróci jej kod HTML i po nim możesz szukać tekstowo lub zbudować z tego DOM i wyszukać czego potrzebujesz po konkretnych atrybutach (id, czy klasa).
W przypadku strony generowanej dynamicznie jest trochę gorzej, bo potrzebujesz w jakiś sposób zbudować content strony, co normalnie dzieje się za pośrednictwem frameworka pokroju Angular, React czy Vue. Tutaj mógłbyś posłużyć się np. Puppeteer'em, ale do tego potrzebujesz Node-a - mógłbyś wtedy z Tampermonkey poprosić backend o sprawdzenie danej strony, tam ogarnąć dynamiczne renderowanie i odesłać odpowiedź do Tampermonkey. Nie wiem, czy do Tampermonkey są gotowe pluginy, które to potrafią.
Ewentualnie, content strony pobrany Ajax-em można wrzucić w ukryty <iframe>, który powinien wyrenderować stronę i wtedy możesz za pomocą DOM API szukać w nim czego potrzebujesz.