Ajax to po prostu określenie na żądanie wysłane przez JavaScript niejako w tle. W większości zastosowań nie różni się to niczym od normalnego wysłania formularzy oprócz tego, że nie następuje przejście do innej strony/przeładowanie. I to w sumie tyle, nie licząc większej kontroli nad żądaniem HTTP, jaką daje Ajax (patrz: komentarz pod tym postem).
W najprostszej wersji kod PHP może zostać bez zmian. Chociaż pewnie będziesz chciał sprawdzić, czy żądanie przyszło Ajaksem (np. dodając do adresu ajax=true i sprawdzając w PHP, czy jest taka wartość ustawiona) i jeśli tak, to nie zwracać kodu całej strony, tylko np. prosty komunikat, że wszystko ok.
MDN ma fajny poradnik od Ajaksu.