Od tego robi się vue router gdzie definiujesz jakie komponenty odpowiadają jakim ścieżkom a następnie ten komponent jest wrzucany do router-view, który powinieneś utworzyć w jakimś komponencie, który zawsze istnieje.
Zamiast tagów a używaj tagu router-link np.
<router-link to="/">Home</router-link>
<router-link to="/settings">Settings</router-link>