Funkcja session_destroy() niszczy aktualną sesję a do przechowywania odpowiedzi używasz cookie. Żeby wyczyścić cookie możesz użyć setcookie($imie, null, 1).
pozatym:
Znacznik <br> jest nieparzysty (nie ma otwarcia i zamknięcia) czyli powinno być <br> lub <br /> zamiast </br>
Zamiast
echo "<h1>Witaj w głosowaniu: $imie</h1> ";
jeżeli do h1 doszły by jakieś atrybuty było by coraz mniej czytelne. Można użyć na przykład:
<h1>Witaj w głosowaniu: <?= $imie ?></h1>
jeżeli używasz cookie a nie sesi to nie ma potrzeby iniciowania sesi (session_start())