Trochę nie rozumiem co chcesz zrobić i w jaki sposób. Odpalić stronę czyli chcesz, aby tak jakby uruchomić na VPSie przeglądarkę internetową, na której ta strona będzie zawsze otwarta? Jeśli tak, to nie wiem po co, to brzmi trochę bezsensownie. Jeśli potrzebujesz zrobić np. powiadomienia, to należy to zrobić tak, aby wysyłały się bez względu na działania na samej stronie, apka nie powinna potrzebować do tego przeglądarki. Różne rzeczy mogą się dziać na jakieś akcje wykonywane na stronie, mogą na jakiś kolejkach w tle albo mogą dziać na CRONie i uruchamiać się automatycznie co jakiś czas. Nie ma z tym problemu, aby wykonać akcję nie trzeba mieć otwartej strony, kwestia tylko określenia co i jak.
BTW na VPSie też możesz sobie zainstalować środowisko graficzne, choć raczej się tego nie robi na serwerach i podobnych.