Nie da się. Przynajmniej nie w JS.
Musiałbyś pobierać datę dodania elementu do tablicy za pomocą np. JS, przesłać ją do PHP (najlepiej SQL) i przy każdym otworzeniu strony sprawdzić czy istnieje jakiś element, który ma datę dodania elementu wcześniejszą niż tydzień, jeśli tak, usunie ten string, i wszystkie poprzednie.