Trochę trudno w prosty sposób odpowiedzieć na to pytanie. 
Twierdzenie matematyczne (przynajmniej te, które kojarzę) można przedstawić w następującej postaci:
- Lista założeń, czyli zdań logicznych
- Operator logiczny: implikacja lub równoważność
- Zdanie logiczne, będące "wynikiem" twierdzenia
Tak więc możemy rozpatrzyć dwa typy twierdzeń:
- bazujące na implikacji
- bazujące na równoważności:
Dowód twierdzenia jest procesem, który ma na celu wykazać (masło maślane), że zdanie złożone jest tautologią. Mówiąc prostszym językiem, dowód ma być prawdziwy wtedy, kiedy wskazywałby na to użyty operator.
Równoważność prościej wyjaśnić. W twierdzeniu równoważność możemy zidentyfikować, jeżeli pojawia się w nim określenie "wtedy i tylko wtedy". Jeżeli twierdzenie oparte jest na równoważności, wiemy że zdanie wynikowe (oznaczyłem je sobie jako r) jest prawdziwe wtedy, kiedy są prawdziwe wszystkie założenia. Jeżeli chociażby jedno z założeń nie jest prawdziwe, wtedy cała lewa strona równoważności też nie jest prawdziwa (czyli jest fałszywa), a pociąga to za sobą, że zdanie wynikowe jest fałszywe. Prostym przykładem będzie takie twierdzenie:
Trójkąt jest równoramienny wtedy i tylko wtedy, gdy dwa kąty przy podstawie są równe.
Trochę trudno mi znaleźć przypadek, kiedy trójkąt jest równoramienny i ma różne kąty przy podstawie, albo ma takie same kąty przy podstawie, a jednak nie jest równoramienny. Za to bez problemu można znaleźć trójkąt, który nie jest równoramienny i stwierdzić, że kąty przy podstawie są różne. Oczywiście można by się czepiać, że wszystko jest zależnie od tego, który bok uznamy za podstawę, ale dla prostoty już tego nie uwzględniałem.
Trochę inaczej jest z implikacją. Implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy wszystkie założenia są prawdziwe, a zdanie wynikowe jest fałszywe. W każdym innym przypadku jest ona prawdziwa. Jeżeli operujemy na przypadku, gdy założenia są fałszywe (to znaczy przynajmniej jedno z nich jest fałszywe), nie możemy nic powiedzieć na temat prawdziwości/fałszywości twierdzenia. Po prostu twierdzenie nie operuje na tym przypadku. Przykładowo, możemy rozpatrzyć takie twierdzenie:
Jeżeli wielokąt jest kwadratem, to wszystkie jego boki mają taką samą długość
Wydaje się nam naturalne. Czy możemy jednak stosować je tak beztrosko, jak twierdzenia oparte na równoważności? NIE.
Jeżeli widzimy jakiś wielokąt, który ewidentnie jest kwadratem, zgodnie z tym twierdzeniem wszystkie jego boki mają taką samą długość - wszystko się zgadza.
Jeżeli widzimy jakiś wielokąt, który na pewno tym kwadratem nie jest, to nie mamy nawet co myśleć o tym twierdzeniu. Nawet jeśli wszystkie jego boki mają taką samą długość. I to już jest coś co zahacza o tematykę pytania.
Załóżmy, że żyjemy za czasów Euklidesa i pomagamy mu dowodzić tego typu podstawowe twierdzenia. Bierzemy jakiś fajny romb, który jednak nie jest kwadratem. Patrzymy na twierdzenie w drugą stronę, czyli zakładamy prawdziwość tezy - wielokąt ma wszystkie boki tej samej długości. No zgadza się, dokładnie o takim wielokącie mówimy. Ale założenia tego twierdzenia mówią o tym, że jest on kwadratem, a to jest nieprawdą.
Wniosek z tego prosty: równoważność działa w dwie strony i mamy przy niej dużą swobodę, natomiast implikacja jest zawsze jednostronna i nie należy próbować stosować jej w drugą stronę.
Jak to ma się do Twojego pytania?
Generalnie dowody się powinno przeprowadzać w taki sposób, że zakładasz prawdziwość założeń, a następnie korzystasz z innych twierdzeń (opartych zarówno na implikacji, jak i równoważności), co do których prawdziwości możesz być absolutnie pewny. Po pewnym czasie powinieneś dojść do tezy, lub do zdania, które tej tezie zaprzecza (albo jakiejś wewnętrznej sprzeczności). Wtedy możesz powiedzieć, że twierdzenie jest prawdziwe, albo fałszywe. Są też oczywiście jakieś metody dowodzenia nie-wprost, ale na razie to pomijam.
Ale wiadome jest, że nie zawsze jest to takie proste. Teza czasami potrafi być dość mocno zagmatwana i fajnie byłoby ją sobie uprościć. I na szczęście można to robić, ale trzeba przekształcać ją w sposób równoważny (czyli korzystając z twierdzeń opartych o wtedy i tylko wtedy). Jednak wszelkie implikacje należy wykonywać w kierunku od założeń, do tezy. W innym przypadku mogą Ci wyjść bzdury.
Na koniec chciałbym zaznaczyć, że nie jestem matematykiem, a to co powyżej napisałem wynika raczej z moich osobistych rozważań, bazując na znanej mi podstawowej wiedzy z logiki, niż zdobytej gdzieś wiedzy. Jeżeli napisałem gdzieś bzdury, to śmiało proszę mnie poprawić. Przy tym trochę ubolewam, bo logika w szkole jest traktowana bardzo na odwal, a to jakby nie patrzeć, podstawa wszelkiego rozumowania.
P. S.
Dopiszę jeszcze tylko, że równoważność to nic innego, jak implikacja działająca w dwie strony. Możemy mieć twierdzenie Pitagorasa sformułowane w następującej postaci:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej
Jednocześnie wiemy też, że prawdziwe jest twierdzenie do niego odwrotne:
Jeżeli suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, to trójkąt jest prostokątny
I prawdziwość tej pierwszej implikacji i drugiej (która jest odwrotna do pierwszej) daje nam uprawnienie do zapisania tego w postaci równoważności:
Suma kwadratów przeciwprostokątnej jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest prostokątny
