Witam, wiem, że pytanie troche stare, ale chciałem na nie odpowiedzieć, by pokazać, że nie warto nadinterpretować pewnych zjawisk, a starać się analizować problemy od ogółu do szczegółu. Mimo wszystko problem wydaje się na tyle ciekawy, że chciałem opisać go (na ile potrafię) matematycznie.
Po pierwsze tak, linia nie przecina żadnej liczby pierwszej od dostatecznie dużego n. Czy liczby pierwsze są w jakiś sposób wyjątkowe? zdecydowanie nie... ta linia przecina zwyczajnie co 4 "liczbę", tą która jest podzielna przez 4.
Patrząc na ten obrazek widzimy, że czerwona linia przecina koło dokładnie w 1/4 jego obwodu (od teraz ten punkt nazywa się Q). Co więcej linia została obniżona o promień małych okręgów przez co nie przecina już w tym punkcie, za to przecina mały okrąg o promieniu 1 styczny wewnętrznie do dużego w punkcie skrajnie po prawej stronie.
(przecinana linia jest bez przesunięcia, natomiast ciągła przesunięta)
Tylko które liczby mają mały okrąg styczny w punkcie Q?
Założenie było takie, że dzielimy okrąg na n części (n to liczba reprezentowana przez okrąg) i jakaś liczba k takich części całego okręgu powinna nam dać kąt prosty w stosunku do pozycji początkowej. Skoro k jest z założenia liczbą całkowitą, to n musi być na pewno podzielne przez 4 , by posiadać okrąg styczny w Q.
Teraz wypadałoby policzyć, że dla n dążącego do nieskończoności inne okręgi (które nie dzielą się na 4) na pewno nie przecinają tej linii. Cóż, skoro inne okręgi nie posiadają małego okręgu w punkcie Q to trzeba wziąć pod uwagę okręgi najbliższe temu punktowi. Zatem najlepiej niech k będzie zaokrągleniem liczby n/4.
Kluczowe będzie policzenie przesunięcia pionowego najbliższego okręgu do punktu Q. Skoro n -> nieskończoności, to można aproksymować, że przesunięcie w poziomie dąży do zera.
(linia zielona jest pomocnicza - chodzi nam o długość czerwonego odcinka)
Znamy promień dużego koła (n), oraz kąt między narysowanymi, czarnymi promieniami (różnica kąta π/2 z kątem najbliżeszego okręgu - 2π*zaokrąglenie(n/4)/n. Pamiętając, że przy bardzo dużym n cięciwa między punktami kończącymi promienie będzie dążyć do prostopadości względem poziomego promienia, możemy wyznaczyć tą długość za pomocą twierdzenia cosicusów. Odlegość czerwonego odcinka zaznaczmy jako literę e.
Teraz chcemy znać tą długość gdy n dąży do nieskończoności.
Jako, że pierwiastek i mnożenie przez stałą nie ma wpływu na wynik granicy uprościmy sobie zadanie i policzmy granicę l. Okazuje się jednak, że sytuacja jest beznadziejna, ponieważ mamy symbol nieoznaczony (nieskończoność * zero) a funkcja jest nieciągła ze względu na znak wartości całkowitej. Udało mi się jednak ustalić, że ciąg jest ograniczony, więc na mocy twierdzenia Bolzana-Weierstrassa zawiera on podciąg zbieżny. W rzeczywistości zawiera 3 podciągi zbieżne (liczby należące do tych samych klas reszt [zainteresowanym polecam przejrzeć podstawy arytmetyki modularnej]). Spodziewam się zatem trzech różnych wyników, gdy za n podstawię 4n+1, 4n+2, 4n+3. Policzmy granicę dla 4n+1 ( liczb całkowitych dających resztę z dzielenia przez 4 równą 1 oraz dążących do nieskończoności).
Teraz nasza funkcja jest ciągła i możemy (choć nie jest to elegenckie w przypadku ciągów) skorzystać z
twierdzenia de l'Hôpitala uprzednio zmieniając symbol nieoznaczony z inf*0 na 0/0.
(wybaczcie brak końca nawiasu: koniec nawiasu sin i cos zaraz po koncu nawiasu mnożenia przez π)
Dalej mamy symbol nieoznaczony, więc spróbujmy raz jeszcze zastosować regułę e l'Hôpitala.
Udało nam się wyznaczyć granicę dla liczb dających 1 jako resztę z dzielenia przez 4. Wartość e wynosi
Teraz, gdy znamy tą długość możemy udowodnić, że żadna liczba 4n+1 nie posiada małego okręgu, który jest przecinany przez linię.
oczywiście e to długość odcinka, a nie stała eulera
Jeśli punkt Q potraktujemy jako środek układu współrzędnych, to średek małego okręgu będącego najbliżej punktu Q ma współrzędne (-1, π/2). Dystans d do czerwonej prostej wyliczamy więc ze wzoru.
Odległość jest większa niż promień małego okręgu - 1, więc prosta nie przecina okręgu.
Podobnie można udowodnić dla pozostałych klas reszt, co jednak uznaję za zbędne.
