• Najnowsze pytania
  • Bez odpowiedzi
  • Zadaj pytanie
  • Kategorie
  • Tagi
  • Zdobyte punkty
  • Ekipa ninja
  • IRC
  • FAQ
  • Regulamin
  • Książki warte uwagi

Graficzne przedstawienie liczb pierwszych i ciągu Fibonacciego w programie auto-cad

Fiszki IT
Fiszki IT
0 głosów
224 wizyt
pytanie zadane 7 czerwca 2020 w Matematyka, fizyka, logika przez Krystian Turowski Nowicjusz (120 p.)

Ciąg Fibonacciego spotykamy wszędzie wokół. Złota proporcja jest wszechobecna.

Postanowiłem przestawić graficzne manifestacje tych liczb.
Okrąg o promieniu 1 wprowadziłem jako punkt odniesienia. Każdą liczbę przedstawiam jako okrąg o średnicy tej liczby z wpisanymi w niego okręgami o ilości takiej jak dana liczba. Np. kiedy przedstawiam 13 to jest to okrąg o średnicy 13, z 13-oma okręgami o średnicy 1 wpisanymi w niego, gdzie pierwszy znajduje się zawsze na  godzinie 12:00. Następnie każdą z liczb nakładam na siebie w środku małych okręgów każdej z liczb.
Teraz kiedy mały "okrąg początkowy/wspólny" podzielić na 12 części to linia wyznaczająca kąt 45-u stopni ma ciekawe cechy.
Otóż po pierwsze to przecina co szósty wyraz ciągu F przez środek małego okręgu wpisanego (zrobiłem program dzielący kolejne wyrazy ciągu F przez liczby naturalne (od 2 do 15) i wychodzi na to, że jednocześnie co 6 wyraz ciągu F jest podzielny przez 8 dając liczbę całkowitą).
Co najważniejsze ta linia prawdopodobnie nie przecina żadnego małego okręgu liczb pierwszych.
Kolejna linia z kolei - linia 60-u stopni przecina prawdopodobnie każdy mały okrąg każdej kolejnej liczby pierwszej.

I tu mam problem.
Nie umiem programów graficznych, a w programowaniu raczkuję i potrzeba mi jeszcze wiele czasu, a ponieważ maniakalne podejście spędza mi sen z powiek, postanowiłem to tutaj opisać licząc na pomoc. 
Czy znajdzie się ktoś kto potrafi zrobić program rozwijający moją koncepcję?

Fotka z programu auto-cad. Żółte okręgi to ciąg F, białe to liczby pierwsze:

Tak prezentuje się część wspólna każdej z liczb:

 

Linia, która nie przecina prawdopodobnie żadnej liczby pierwszej, a co szósty wyraz ciągu F przecina przez środek małego okręgu.

Tak wyglądają początkowe wyrazy ciągu Fibonacciego przedstawione graficznie, ze wspólnym środkiem pierwszego "małego" okręgu

 

Co szósty wyraz przecinany jest dokładnie przez środek "małego" okręgu

 

 

Dwie linie, 15 stopni różnicy, a na podstawie graficznej obserwacji można wywnioskować, że jedna przecina wszystkie (biała), a druga nie przecina żadnych z liczb pierwszych

 

 

Z góry dziękuję za wszelką pomoc lub zainteresowanie się tematem, który wg mnie może być kluczem do rozwiązania tajemnic liczb pierwszych.

Pzdr. K

1 odpowiedź

+2 głosów
odpowiedź 1 lipca 2020 przez fedora Początkujący (480 p.)

Witam, wiem, że pytanie troche stare, ale chciałem na nie odpowiedzieć, by pokazać, że nie warto nadinterpretować pewnych zjawisk, a starać się analizować problemy od ogółu do szczegółu. Mimo wszystko problem wydaje się na tyle ciekawy, że chciałem opisać go (na ile potrafię) matematycznie.

Po pierwsze tak, linia nie przecina żadnej liczby pierwszej od dostatecznie dużego n. Czy liczby pierwsze są w jakiś sposób wyjątkowe? zdecydowanie nie... ta linia przecina zwyczajnie co 4 "liczbę", tą która jest podzielna przez 4.

Patrząc na ten obrazek widzimy, że czerwona linia przecina koło dokładnie w 1/4 jego obwodu (od teraz ten punkt nazywa się Q). Co więcej linia została obniżona o promień małych okręgów przez co nie przecina już w tym punkcie, za to przecina mały okrąg o promieniu 1 styczny wewnętrznie do dużego w punkcie skrajnie po prawej stronie.

(przecinana linia jest bez przesunięcia, natomiast ciągła przesunięta)

Tylko które liczby mają mały okrąg styczny w punkcie Q?

Założenie było takie, że dzielimy okrąg na n części (n to liczba reprezentowana przez okrąg) i jakaś liczba k takich części całego okręgu powinna nam dać kąt prosty w stosunku do pozycji początkowej. Skoro k jest z założenia liczbą całkowitą, to n musi być na pewno podzielne przez 4 , by posiadać okrąg styczny w Q.

Teraz wypadałoby policzyć, że dla n dążącego do nieskończoności inne okręgi (które nie dzielą się na 4) na pewno nie przecinają tej linii. Cóż, skoro inne okręgi nie posiadają małego okręgu w punkcie Q to trzeba wziąć pod uwagę okręgi najbliższe temu punktowi. Zatem najlepiej niech k będzie zaokrągleniem liczby n/4.

Kluczowe będzie policzenie przesunięcia pionowego najbliższego okręgu do punktu Q. Skoro n -> nieskończoności, to można aproksymować, że przesunięcie w poziomie dąży do zera.

(linia zielona jest pomocnicza - chodzi nam o długość czerwonego odcinka)

Znamy promień dużego koła (n), oraz kąt między narysowanymi, czarnymi promieniami (różnica kąta π/2 z kątem najbliżeszego okręgu - 2π*zaokrąglenie(n/4)/n. Pamiętając, że przy bardzo dużym n cięciwa między punktami kończącymi promienie będzie dążyć do prostopadości względem poziomego promienia, możemy wyznaczyć tą długość za pomocą twierdzenia cosicusów. Odlegość czerwonego odcinka zaznaczmy jako literę e.

Teraz chcemy znać tą długość gdy n dąży do nieskończoności.

Jako, że pierwiastek i mnożenie przez stałą nie ma wpływu na wynik granicy uprościmy sobie zadanie i policzmy granicę l. Okazuje się jednak, że sytuacja jest beznadziejna, ponieważ mamy symbol nieoznaczony (nieskończoność * zero) a funkcja jest nieciągła ze względu na znak wartości całkowitej. Udało mi się jednak ustalić, że ciąg jest ograniczony, więc na mocy twierdzenia Bolzana-Weierstrassa zawiera on podciąg zbieżny. W rzeczywistości zawiera 3 podciągi zbieżne (liczby należące do tych samych klas reszt [zainteresowanym polecam przejrzeć podstawy arytmetyki modularnej]). Spodziewam się zatem trzech różnych wyników, gdy za n podstawię 4n+1, 4n+2, 4n+3. Policzmy granicę dla 4n+1 ( liczb całkowitych dających resztę z dzielenia przez 4 równą 1 oraz dążących do nieskończoności).

Teraz nasza funkcja jest ciągła i możemy (choć nie jest to elegenckie w przypadku ciągów) skorzystać z

twierdzenia de l'Hôpitala uprzednio zmieniając symbol nieoznaczony z inf*0 na 0/0.

(wybaczcie brak końca nawiasu: koniec nawiasu sin i cos zaraz po koncu nawiasu mnożenia przez π)

Dalej mamy symbol nieoznaczony, więc spróbujmy raz jeszcze zastosować regułę e l'Hôpitala.

Udało nam się wyznaczyć granicę dla liczb dających 1 jako resztę z dzielenia przez 4. Wartość e wynosi

Teraz, gdy znamy tą długość możemy udowodnić, że żadna liczba 4n+1 nie posiada małego okręgu, który jest przecinany przez linię.

oczywiście e to długość odcinka, a nie stała eulera

Jeśli punkt Q potraktujemy jako środek układu współrzędnych, to średek małego okręgu będącego najbliżej punktu Q ma współrzędne (-1, π/2). Dystans d do czerwonej prostej wyliczamy więc ze wzoru.

Odległość jest większa niż promień małego okręgu - 1, więc prosta nie przecina okręgu.

Podobnie można udowodnić dla pozostałych klas reszt, co jednak uznaję za zbędne.

Podobne pytania

0 głosów
1 odpowiedź 41 wizyt
pytanie zadane 13 stycznia w Java przez komboboost0 Użytkownik (550 p.)
0 głosów
2 odpowiedzi 904 wizyt
0 głosów
1 odpowiedź 140 wizyt
pytanie zadane 12 kwietnia 2018 w Java przez Moras Obywatel (1,620 p.)
Porady nie od parady
Zadając pytanie postaraj się o poprawną pisownię i czytelne formatowanie tekstu.Kompozycja

84,794 zapytań

133,600 odpowiedzi

296,073 komentarzy

56,043 pasjonatów

Motyw:

Akcja Pajacyk

Pajacyk od wielu lat dożywia dzieci. Pomóż klikając w zielony brzuszek na stronie. Dziękujemy! ♡

Oto dwie polecane książki warte uwagi. Pełną listę znajdziesz tutaj.

...