Nope, ssr ci w tym nie pomoże. Użyj socket.io. Socket io to biblioteka do wykorzystywania protokołu websocket, czyli możesz zapewnić dwukierunkową komunikację klient-serwer w czasie rzeczywistym. A SSR "podmienia" komponenty Vue, na kod html, przez co przeglądarka dostaje właśnie kod html&css, zamiast krótkiego odnośnika do pliku z js'em który wyrenderowałby treść strony