Cześć.
Zastanowiło mnie połączenie ciągu Fibonacciego ze zbiorem liczb pierwszych.
Uznałem, że przeprowadzę eksperyment i wyrysuję programowo spiralę, a następnie naniosę liczby Fibonacciego oraz liczby Pierwsze.
Gdyby była już taka spirala komuś znana to całkiem dobrze się składa, bo to co ja zauważam może jest wiadome, ale nie było dla mnie jeszcze przed eksperymentem.
Otóż liczby pierwsze na spirali występują na spirali w bardzo losowy sposób, to jest pewne.Ale nie jest to już taki losowy sposób jeśli weźmiemy cały podzbiór w danym kwadracie.
Przybywa ich pomiedzy kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego, to jest pewne.
Z obserwacji wynika też taka chyba nietrywialna sprawa, że:
Suma liczb pierwszych na spirali pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego podzielona przez ilość liczb pierwszych, a następnie podzielona przez większą liczbę Fibonacciego daje w przybliżeniu połowę Złotej liczby Phi.
Wyjątkiem jest początek spirali, dla trzech pierwszych liczb zbioru liczb pierwszych (2,3,5) bo są one również liczbami Fibonacciego i wtedy AVG/F równe jest 1.
Czyli zbiór jest w pewnym sensie związany ze złotą spiralą w ten sposób. Czy może to zbyt naciągany wniosek?
Mam nadzieję, że te kilka zdjęć może pomóc znaleźć coś więcej. Jeśli ktoś chciałby spróbować swoich sił z tymi liczbami na spirali, mogę udostępnić aplikację.
Mały opis tego, co widzisz na ekranie.
Najwyższe są w kolorze białym.
QTY - ilość liczb pierwszych między kolejnymi liczbami ciągu Fibonacciego, tj. w danym kwadracie.
SUM - suma liczb pierwszych między kolejnymi liczbami Fibonacciego.
AVG - średnia obliczona poprzez podzielenie sumy przez ilość, tj. SUM / QTY.
SUM / F - suma liczb pierwszych podzielona przez liczbę Fibonacciego.
AVG / F - pokazuje średnią liczb pierwszych w danym polu kwadratu, podzieloną przez liczbę Fibonacciego. Zauważ, że. Wygląda na to, że zawsze jest to przybliżenie równe połowie Złotej liczby PHI / 2 ≈ 0,80 ... z wyjątkiem pierwszych trzech liczb (2,3,5), które są równe liczbom Fibonacciego, a dobre przybliżenie wzrasta wraz ze wzrostem wartości.
Mam nadzieję, że to będzie przydatne. Nigdy wcześniej nie widziałem narysowanej spirali Fibonacciego ze wskazanymi liczbami pierwszymi, więc postanowiłem podzielić się moją własną. Przepraszamy za niską jakość zdjęć, ale jest to wynik zrzutu ekranu z uruchomionej aplikacji, a spirala została skalowana w rozdzielczości HD, aby pasowała do ekranu. Jest to testowane tylko na ok. 20 000 liczb naturalnych. Więc… Teraz, jeśli mogę, chciałbym prosić o pomoc, aby potwierdzić lub zaprzeczyć temu mojemu nietrywialnemu twierdzeniu. Potrzebuję także pomocy, aby znaleźć formułę do matematycznego opisania tego - nazwijmy to "odkrycia".
Utworzyłem taki oto kawałek pseudokodu:
if ((Pn > Fn-1) && (Pn+x <=Fn)) { 2* ((Pn + Pn+1+Pn+2+Pn+...x...) / Fn(x+1)) = Phi }
ale nie jestem pewien jego poprawności, a sądzę, że raczej błędu się nie ustrzegłem.
Fn - to liczba Fibonacciego
Pn - to liczba pierwsza
x - to niewiadoma
Phi - złota liczba, w przybliżeniu 1.618
Napisałem to tylko aby pomóc wyprowadzić wzór ogólny do tego co stwierdziłem wyżej i co widać w rzutach spirali oraz po kilku moich obliczeniach za pomocą aplikacji, która robi mimo wszystko swoje zadanie dość dobrze.
Dzięki za dotrwanie do końca. To na razie tyle.
