Zbiory, dowód implikacji

Question

Mam dane zbiory A1, A2, B1, B2, takie, że A1 jest równoliczne A2, B1 jest równoliczne B2 oraz |A1| <= |B1|. Muszę udowodnić, że |A2| <= |B2|. Wiem, że muszę skonstruować injekcję z A2 w B2, ale nie wiem niestety jak. Czy jakaś dobra dusza jest w stanie mi z tym pomóc?

Comments

|A2|=|A1|<=|B1|=|B2| nie wystarczy?

---

Nie

Answer 1

Z założenia wiemy, że istnieją następujące funkcje

A mamy wykazać istnienie injekcji 
Najłatwiej będzie to zobaczyć rysując sobie sytuację

Na obrazku widoczne jest, że żeby dostać się z A2 do B2, to funkcja

Wiemy, że istnieje funkcja odwrotna do f, bo f jest bijekcją.

Teraz wystarczy pokazać, że i(x) jest różnowartościowa, co jest oczywiście prawdą, ponieważ i jest złożeniem trzech funkcji różnowartościowych, więc jest różnowartościowa.