Jeśli chcesz to zapisać do bazy to pewnie tak, przydałaby się kolumna. W migracji może to być boolean(), w bazie zrobi Ci to kolumnę TINYINT(1) i będzie tam wrzucał 1 lub 0. Sam formularz niczego Ci do bazy nie prześle, ale zakładam że to był tylko skrót myślowy :) Formularz wysyła do aplikacji w Laravelu, ta dopiero może wykonać jakieś zapytanie do bazy danych. Checkboxa w Laravelu odczytujesz tak samo jak każdy inny input - jeśli będzie zaznaczony to przesłany zostanie element o nazwie name z formularza i wartości z value, jeżeli zaznaczony nie będzie to takie pole w ogóle nie zostanie przesłane.