Wyznaczanie wzoru funkcji mając dane 10 punktów na I ćwiartce układu współrzednych.

Question

Witam.

Wykreśliłem wykres funkcji dysponując danymi o wzroście populacji ludzi na świecie. (To jest przybliżenie.)

Funkcja wygląda tak jak na załączonym obrazku.

Oś y reprezentuje kolejne liczby ciągu Fibonacciego, które osiągała populacja człowieka na przestrzeni lat. 

Oś x reprezentuje upływ czasu.

Jak podejść do zagadnienia wyznaczenia wzoru funkcji, kóra jest wyrysowana dzięki 10 punktom widocznym na układzie?

Zakładam, że jest to funkcja logarytmiczna, gdyż skala na osi y jest według mnie logarytmiczna. Sugeruję się tym, że złota spirala jest spiralą logarytmiczną. Jeśli tu popełniam błąd proszę o naprowadzenie mnie.

Od lewej punkt A=(x,y),B,C i dalej.

A (1,165580141), B(1000,267914296), C(1500,433494437), D(1725,701408733), E(1825,1134903170), F(1900,1836311903), G(1950,2971215073), H(1985,4807526976), I(2018,7778742049), J(x,12586269025).

Dla mnie to nie jest proste, wyznaczyć wzór tej funkcji, mimo, że mamy 10 punktów.

Macie jakieś pomysły?

 

 

 

 

Comments

Nigdy nie robiłem takich rzeczy, ale gdybym musiał to wydaje mi się, że mój pierwszy kierunek to byłoby jakieś forum użytkowników MatLaba czy innych tego typu aplikacji matematycznych i zastanowienie się, czy nie dałoby się tego zrobić na zasadzie podstawiania kolejnych wartości od X i analizowanie bliskości uzyskanych wyników z tymi znanymi. Wydaje mi się, że takie apki powinny mieć tę możliwość, ale mogę się mylić, to tylko takie pierwsze przemyślenie. Aczkolwiek chętnie zobaczę co powiedzą inni bo temat mnie zaciekawił :)

---

Cześć. No jakże się cieszę się, że temat wreszcie kogoś zainteresował. Tak sobie usiadłem w niedzielę i zbroiłem taki wykres z ogólnodostępnych danych. Dałem to na kilku forach matematycznych do rozmyślenia. Sam tego zagadnienia raczej nie rozwikłam. Trochę programuje tak hobbystycznie w języku c, ale nie mam pojęcia jak to ugryźć aby dać komputerowi do obliczeń. Na MatLabie się nie znam, ale może faktycznie na takim forum powinienem zapytać. W każdym razie dzieki za sugestię.

---

Patrzac na ten wykres, to wedlug nie ma funkcji, ktora okresli ten przyrost. Problemem w wyznaczeniu takiej funkcji jest po prostu jej zlozonosc. Populacja ludzka zalezy od pierdyliarda czynnikow, wiec ciezko by to ujac w jedenj funkcji. Zeby okreslic zblizona liczbe pewnie trzeba podejsc do tego od drugiej strony, czyli srednia ilosc narodzin,  srednia ilosc smierci w danym interwale czasowym i do tego rok. Oczywiscie sa to dane zmienne i zalezne od kojenych czynnikow, jak medycyna + srednia zywotnosc itd itd.

Answer 1

Hej ;)

Po pierwsze nie jest to funkcja logarytmiczna, tylko wykładnicza, która ma wzór f(x)=a^x.

I jeśli jest to faktycznie funkcja wykładnicza to wystarczy obliczyć a, podstawiając do równania współrzędne dowolnego punktu. Ale jeśli są to realne dane to mało realne, żeby wynik wyszedł dokładnie.

I coś jest nie tak z osią y - dane na osi są dobre czy te napisane obok punktów? O co tu chodzi?

Comments

Cześć.

Tak. Zgadza się, to jest wykres prezentujący funkcję wykładniczą. Po opisaniu wykresu doczytałem o tym co decyduje, że funkcja jest wklęsła lub wypukła i teraz wiem że tam w opisie na diagramie popełniłem błąd sugerując, że to funkcja logarytmiczna.

Podstawiałem pod podobny do proponowanego przez Panią wzóru f(x)=a^x dane z wykresu jednak w tych obliczeniach nie znalazłem rozwiązania.

Wzór który zastosowałem to P=(P0*e)^rt

P- Populacja po czasie "t"

P0 - Populacja początkowa

r - wskaźnik wzrostu

(delta) t - upływ czasu w latach

e - Liczba Eulera (2.71828)

Niestety ten wzór nie nadaje się do wyliczenia wartości populacji (prezentowanej na osi Y) nie znając wskaźnika wzrostu r, a mając jedynie rok z osi X.

Także mając wzór ogólny funkcji wykłądniczej chciałem iść dalej i obliczać równania dla tej funkcji. Jednak bez znajomości wskaźnika r w podanym wzorze się nie obejdzie, a wskaźnika tego znać nie możemy dla niektórych lat, szczególnie tych przed 1 AD.

Także ogólna postać wzóru jest znana, ale sam wzór, który zaproponowałem wyżej jest mało użyteczny. Nie pozwala bowiem wyznaczyć populacji w latach, o których nic nie wiemy.

Myślę, że przy rozwiązywaniu równania bez logarytmów się nie obejdzie.

Oś Y to dane kolejnych liczb ciągu Fibonacciego (dla ułatwienia zaznaczyłem na osi Y tylko kolejny numer porządkowy liczb) , oś Y jest skalą logarytmiczną według mnie. Tutaj istotne są kolejne wartości liczb złotego ciągu.

To układ współrzędych typu lin-log, logarytmiczno liniowy. Oś y - logarytmiczna, oś x - liniowa.

Oś Y zaczyna się od 41 wartości ciągu Fibonacciego, gdyż podniosłem oś X do góry, żeby zaprezentować fragment wykresu na pierwszej ćwiartce. Na drugiej ćwiartce, czyli przed rokiem 1 AD wykres opada idąc dalej w lewo, aż dojdzie do roku xxx BC (powiedzmy  jakieś 300 000 BC, kiedy ewoluował pierwszy Homo Sapiens według naszej wiedzy) i wtedy osiągnie wartość 1 na osi Y, następnie osiągnie 2 kolejno będzie 3 poźniej 5..., 8, 13 21, 34 itd osiągając kolejne wartosci liczbowe ciągu.

Mam nadzieję, że to trochę wyjaśniło więcej.

Dzieki za zainteresowanie.