Przechwyć zdarzenie submit na formularzu i wyślij dane przy wykorzystaniu technologii Ajax, jednocześnie dodając event.preventDefault() aby zapobiec akcji domyślnej, czyli w tym wypadku wejścia w plik z action i przeładowania strony.
Jak zrobić żeby wysłało i nic więcej nie robiło?
Ja uważam, że mimo wszystko user powinien dostać informację czy się udało wszystko poprawnie wysłać/zapisać w bazie itp. W odpowiedzi z serwera możesz np. rzucić jakiegoś JSON'a ze statusem ok/error i choćby na tej podstawie dać info userowi.
Do prostych requestów Ajaxowych polecam np. axios, natywne fetch albo ewentualnie jQuery jeśli masz to i tak już w kodzie, bo dla samego ajax to nie warto podciągać całej biblioteki. Ale jeśli to byłby Twój pierwszy raz z Ajax to polecam spróbować samodzielnie obsłużyć obiekt XMLHttpRequest aby dokładnie zrozumieć co i jak się tam dzieje i nie myśleć o jQuery.ajax() jako o jakieś czarnej magii :)