Miałem swego czasu problem z Qt, aby jego aplikacje działały na innych komputerach. Teraz już wiem, że aby tak się działo konieczna jest obecność (oprócz dll-ek, o które płacze) również plików z pluginami. W moim przypadku pliki te znajdują się w folderze:
Qt\Qt5.6.3\5.6.3\mingw49_32\plugins
podstawowy plugin, jaki jest niezbędny do działania programu znajduje się w folderze platforms, który należy skopiować do folderu z twoją aplikacją. W zależności z czego korzystasz, możesz też potrzebować:
imageformats - jeżeli chcesz ładować pliki graficzne z dysku i z nimi coś robić;
printsupport - jeżeli wykorzystujesz klasę QPrint
sqldrivers - jeżeli korzystasz z baz danych.