Oznaczenia: a, b - przyprostokątne; c - przeciwprostokątna
Założenia: a, b, c > 0 (ponieważ długość odcinka nie może być ujemna)
Pole trójkąta prostokątnego możemy wyrazić w postaci połowy iloczynu obydwu przyprostokątnych.
P = 0.5 * a * b
P = 50
0.5 * a * b = 50
a * b = 100
Jedna z przyprostokątnych jest 4 razy dłuższa od drugiej, a więc:
b = 4 * a
Podstawiamy do otrzymanego wcześniej równania:
a * 4 * a = 100
4 * a^2 = 100
a^2 = 25
|a| = 5 => a = 5 lub a = -5 (ale to nie spełnia warunków, gdyż a > 0)
A więc jeśli a = 5, to b = 4 * 5 = 20.
Długość przeciwprostokątnej możemy policzyć z twierdzenia Pitagorasa.
a^2 + b^2 = c^2
c^2 = 5^2 + 20^2 = 25 + 400 = 425
Teraz podobnie jak przy wyliczaniu a, c może przyjąć dwie wartości, ale jako że c > 0, to wartość ujemna odrzucamy.
c = 5 * sqrt(17)
Odpowiedź: Długość przeciwprostokątnej wynosi 5 * sqrt(17).
P.S. Mam nadzieję, że się nie pomyliłem, robiłem to w głowie i na szybko, przydał by się jakiś rysunek.
P.P.S. Przydała by się na forum obsługa TeXa, trzeba coś wykombinować.