Rozkład wielomianu na czynniki - ciekawy przykład

pytanie zadane 18 grudnia 2017 w Matematyka, fizyka, logika przez Eryk Andrzejewski Mędrzec (164,260 p.)
edycja 18 grudnia 2017 przez Eryk Andrzejewski

Witam, natknąłem się dzisiaj na pewien ciekawy wielomian, a mianowicie:

x^3 - x^2 - 1 = 0

Czy macie jakieś sugestie jak można rozłożyć ten wielomian na czynniki? Bo tak:

Rozłożyć można na pewno (bo stopień wielomianu jest większy niż 2)
Wielomian posiada przynajmniej jeden pierwiastek (bo jest to wielomian stopnia nieparzystego)
Metoda wyznaczania wymiernych pierwiastków wielomianu odpada, ponieważ... wszystkie pierwiastki wielomianu są najwyraźniej niewymierne.
Wiem, że jest coś takiego jak wzory Cardano, które można zastosować dla równań stopnia trzeciego, ale szukam bardziej przyziemnej metody.
Strzelam, że pewnie można jakoś rozbić poszczególne jednomiany na ich sumę i różnicę, ale nie mam w tym przypadku kompletnie pomysłu jak to zrobić (i cały czas myślę).

Jakieś pomysły, sugestie?

P.S.

Gdyby to kogoś interesowało, to próbowałem też skorzystać z faktu, że wielomian ten mogę rozłożyć na iloczyn dwumianu liniowego oraz trójmianu kwadratowego, podstawić nowe zmienne a następnie korzystać z faktu, że współczynnik przy najwyższej potędze oraz wyraz wolny wielomianu wynoszą odpowiednio 1 i -1, ale najwyraźniej wielomiany będące czynnikami nie posiadają całkowitych współczynników.

P.P.S.

Nawet z wzorów Viete'a dla równań stopnia trzeciego korzystałem, wróciłem do punktu wyjścia.

@UPDATE

Nikt tego nie zrobił, to ja zrobiłem. Wynik jest dość imponujący (chociaż nie wiem czy nie można go jeszcze bardziej uprościć, ale "obawiam się", że będzie problem). Oto jedyny pierwiastek owego wielomianu:

$x = \frac{1}{3} * (\sqrt[3]{ \frac{29 + 3 \sqrt{93}}{2}} + \sqrt[3]{ \frac{29 - 3 \sqrt{93}}{2}} + 1)$

Do wyniku doszedłem z zastosowaniem owych wzorów Cardano, jednak strasznie jestem ciekawy czy można takie coś uzyskać z wykorzystaniem matematyki na poziomie szkoły średniej. Nadal czekam na propozycje.

komentarz 18 grudnia 2017 przez Undisputed Gaduła (3,040 p.)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3-x%5E2-1%3D0

Też jestem ciekaw rozwiązania.

komentarz 18 grudnia 2017 przez Eryk Andrzejewski Mędrzec (164,260 p.)

Tak, wiem o wolframalpha i tego typu stronach, niemniej jednak mnie interesuje dokładny wynik, a tam jest tylko zaokrąglenie. Może inaczej - mnie interesuje droga do wyniku, bo kombinuję, kombinuję i efektów nie ma.

W każdym razie nadal myślę, ale jakieś sugestie bardzo mile widziane. To zadanie dałem też trochę dla pobawienia się, bo pytałem już dzisiaj kilka osób i żadna nie potrafiła mi udzielić odpowiedzi na to pytanie (nie wiem czy wynika to z trudności zadania, czy może ciężko coś dostrzec, czy może z innej przyczyny).

komentarz 18 grudnia 2017 przez Patrycjerz Mędrzec (192,320 p.)

Czy macie jakieś sugestie jak można rozłożyć ten wielomian na czynniki pierwsze?

Chodzi o podział na tylko jedno- i dwumiany?

komentarz 18 grudnia 2017 przez Eryk Andrzejewski Mędrzec (164,260 p.)

Tak, o to chodzi.

1	komentarz 19 grudnia 2017 przez radek024 Szeryf (77,160 p.) Panie, ja to na środę musze ogarnąć, nie przypominaj mi o tym XD

1	komentarz 19 grudnia 2017 przez Eryk Andrzejewski Mędrzec (164,260 p.) Powodzenia!

2 odpowiedzi

odpowiedź 19 grudnia 2017 przez Ehlert Ekspert (214,870 p.)
edycja 19 grudnia 2017 przez Ehlert

Na poziomie szkoły średniej masz twierdzenie Bezouta i schemat Hornera. Już po pierwszym kontakcie widać że pierwszy pierwiastek będzie niewymierny.

Powodzenia z resztą miejsc prawdopodobnie będą one zespolone.

Update

Zbadaj dokładnie przebieg zmienności wykresu funkcji. Na pierwszy rzut oka nałożenie wartości bezwzględnej na cały wzór da wykres symetryczny, więc kombinowałbym z punktami przegięcia. Może średnia ich współrzędnych iksowych da miejsce zerowe.