• Najnowsze pytania
  • Bez odpowiedzi
  • Zadaj pytanie
  • Kategorie
  • Tagi
  • Zdobyte punkty
  • Ekipa ninja
  • IRC
  • FAQ
  • Regulamin
  • Książki warte uwagi

Rozkład wielomianu na czynniki - ciekawy przykład

VPS Starter Arubacloud
+5 głosów
1,312 wizyt
pytanie zadane 18 grudnia 2017 w Matematyka, fizyka, logika przez Eryk Andrzejewski Mędrzec (164,260 p.)
edycja 18 grudnia 2017 przez Eryk Andrzejewski

Witam, natknąłem się dzisiaj na pewien ciekawy wielomian, a mianowicie:

x^3 - x^2 - 1 = 0

Czy macie jakieś sugestie jak można rozłożyć ten wielomian na czynniki? Bo tak:

  • Rozłożyć można na pewno (bo stopień wielomianu jest większy niż 2)
  • Wielomian posiada przynajmniej jeden pierwiastek (bo jest to wielomian stopnia nieparzystego)
  • Metoda wyznaczania wymiernych pierwiastków wielomianu odpada, ponieważ... wszystkie pierwiastki wielomianu są najwyraźniej niewymierne. laugh
  • Wiem, że jest coś takiego jak wzory Cardano, które można zastosować dla równań stopnia trzeciego, ale szukam bardziej przyziemnej metody.
  • Strzelam, że pewnie można jakoś rozbić poszczególne jednomiany na ich sumę i różnicę, ale nie mam w tym przypadku kompletnie pomysłu jak to zrobić (i cały czas myślę).

Jakieś pomysły, sugestie?

P.S.

Gdyby to kogoś interesowało, to próbowałem też skorzystać z faktu, że wielomian ten mogę rozłożyć na iloczyn dwumianu liniowego oraz trójmianu kwadratowego, podstawić nowe zmienne a następnie korzystać z faktu, że współczynnik przy najwyższej potędze oraz wyraz wolny wielomianu wynoszą odpowiednio 1 i -1, ale najwyraźniej wielomiany będące czynnikami nie posiadają całkowitych współczynników.

P.P.S.

Nawet z wzorów Viete'a dla równań stopnia trzeciego korzystałem, wróciłem do punktu wyjścia. wink

@UPDATE

Nikt tego nie zrobił, to ja zrobiłem. Wynik jest dość imponujący (chociaż nie wiem czy nie można go jeszcze bardziej uprościć, ale "obawiam się", że będzie problem). Oto jedyny pierwiastek owego wielomianu:

x =  \frac{1}{3} * (\sqrt[3]{ \frac{29 + 3 \sqrt{93}}{2}} + \sqrt[3]{ \frac{29 - 3 \sqrt{93}}{2}} + 1)

Do wyniku doszedłem z zastosowaniem owych wzorów Cardano, jednak strasznie jestem ciekawy czy można takie coś uzyskać z wykorzystaniem matematyki na poziomie szkoły średniej. Nadal czekam na propozycje. laugh

komentarz 18 grudnia 2017 przez Undisputed Gaduła (3,040 p.)
komentarz 18 grudnia 2017 przez Eryk Andrzejewski Mędrzec (164,260 p.)

Tak, wiem o wolframalpha i tego typu stronach, niemniej jednak mnie interesuje dokładny wynik, a tam jest tylko zaokrąglenie. Może inaczej - mnie interesuje droga do wyniku, bo kombinuję, kombinuję i efektów nie ma. cheeky

W każdym razie nadal myślę, ale jakieś sugestie bardzo mile widziane. To zadanie dałem też trochę dla pobawienia się, bo pytałem już dzisiaj kilka osób i żadna nie potrafiła mi udzielić odpowiedzi na to pytanie (nie wiem czy wynika to z trudności zadania, czy może ciężko coś dostrzec, czy może z innej przyczyny).

komentarz 18 grudnia 2017 przez Patrycjerz Mędrzec (192,340 p.)

Czy macie jakieś sugestie jak można rozłożyć ten wielomian na czynniki pierwsze?

Chodzi o podział na tylko jedno- i dwumiany? 

komentarz 18 grudnia 2017 przez Eryk Andrzejewski Mędrzec (164,260 p.)

Tak, o to chodzi. smiley

1
komentarz 19 grudnia 2017 przez radek024 Szeryf (77,180 p.)
Panie, ja to na środę musze ogarnąć, nie przypominaj mi o tym XD
1
komentarz 19 grudnia 2017 przez Eryk Andrzejewski Mędrzec (164,260 p.)

Powodzenia! laugh

2 odpowiedzi

+1 głos
odpowiedź 19 grudnia 2017 przez Ehlert Ekspert (212,630 p.)
edycja 19 grudnia 2017 przez Ehlert

Na poziomie szkoły średniej masz twierdzenie Bezouta i schemat Hornera. Już po pierwszym kontakcie widać że pierwszy pierwiastek będzie niewymierny.

Powodzenia z resztą miejsc laughprawdopodobnie będą one zespolone. devil

Update 

Zbadaj dokładnie przebieg zmienności wykresu funkcji. Na pierwszy rzut oka nałożenie wartości bezwzględnej na cały wzór da wykres symetryczny, więc kombinowałbym z punktami przegięcia. Może średnia ich współrzędnych iksowych da miejsce zerowe. 

komentarz 19 grudnia 2017 przez Eryk Andrzejewski Mędrzec (164,260 p.)

Pobawię się jeszcze, zamierzam trochę pobadać zależność wykresów funkcji wielomianowych w zależności od wzorów, może coś z tego wyjdzie. laugh

0 głosów
odpowiedź 19 grudnia 2017 przez Schizohatter Nałogowiec (39,600 p.)
Sprawdź ten wynik, który Ci wyszedł z Cardano, bo mój kalkulator twierdzi, że wynikiem tego Xa jest 2.48..., a nie 0.
komentarz 19 grudnia 2017 przez Eryk Andrzejewski Mędrzec (164,260 p.)
Wynik jest chyba okej, a wolframalpha pokazuje taki sam wynik w przybliżeniu.
komentarz 19 grudnia 2017 przez Schizohatter Nałogowiec (39,600 p.)
To może coś ja źle przepisałem :P

Podobne pytania

0 głosów
2 odpowiedzi 303 wizyt
pytanie zadane 14 marca 2018 w C i C++ przez Scypyon Gaduła (3,450 p.)
0 głosów
0 odpowiedzi 252 wizyt
0 głosów
0 odpowiedzi 118 wizyt
pytanie zadane 18 maja 2019 w C i C++ przez Delfinek Nowicjusz (120 p.)

92,453 zapytań

141,262 odpowiedzi

319,088 komentarzy

61,854 pasjonatów

Motyw:

Akcja Pajacyk

Pajacyk od wielu lat dożywia dzieci. Pomóż klikając w zielony brzuszek na stronie. Dziękujemy! ♡

Oto polecana książka warta uwagi.
Pełną listę książek znajdziesz tutaj.

Akademia Sekuraka

Akademia Sekuraka 2024 zapewnia dostęp do minimum 15 szkoleń online z bezpieczeństwa IT oraz dostęp także do materiałów z edycji Sekurak Academy z roku 2023!

Przy zakupie możecie skorzystać z kodu: pasja-akademia - użyjcie go w koszyku, a uzyskacie rabat -30% na bilety w wersji "Standard"! Więcej informacji na temat akademii 2024 znajdziecie tutaj. Dziękujemy ekipie Sekuraka za taką fajną zniżkę dla wszystkich Pasjonatów!

Akademia Sekuraka

Niedawno wystartował dodruk tej świetnej, rozchwytywanej książki (około 940 stron). Mamy dla Was kod: pasja (wpiszcie go w koszyku), dzięki któremu otrzymujemy 10% zniżki - dziękujemy zaprzyjaźnionej ekipie Sekuraka za taki bonus dla Pasjonatów! Książka to pierwszy tom z serii o ITsec, który łagodnie wprowadzi w świat bezpieczeństwa IT każdą osobę - warto, polecamy!

...