Zadanie z matematyki dyskretnej

Question

Witam ! Wiem, że jest to forum informatyczne i nie powinno się zadawać pytań typu czy ktoś może mi rozwiązać ale naprawdę już nie mam co zrobić. Jestem na studiach informatycznych i otrzymałem zadanie od profesora z matematyki dyskretnej, które muszę mu oddać i wtedy dostanę zaliczenie. Niestety nie mam pojęcia, jak to zrobić. Czy mógłby ktoś mnie chociaż nakierować, jakkolwiek pomóc?

Zadanie ma następującą treść:

Pokaż, że : |NxN|=|PxNP|

 

EDIT : N oznacza liczby naturalne, NP liczby nieparzyste, P liczby parzyste

Answer 1

Przedstawiłeś zapis w prostej notacji, a nie mamy tutaj LaTeX-a, więc nie mam pewności czy o to chodzi. Mamy wykazać, że oba zbiory mają taką samą moc. Pierwszy zbiór jest skojarzony z parami liczb nieparzystych, mogą być to na przykład elementy:

(1,3), (7,3), (13,13), ...

Gdyby tak wypisać wszystkie kombinacje, potem podliczyć ile ich jest, to otrzymalibyśmy wartość:

|N x N|

Drugi zbiór skojarzony jest też z parami liczb. Jedną z nich są liczby parzyste, drugą iloczyn liczby parzystej i nieparzystej. Sprawdźmy czym jest iloczyn liczby parzystej i nieparzystej:

n = 2i
m = 2j + 1
i, j e N

n * m = 2i(2j + 1) = 2(2ij + i)

Widzimy więc, że iloczyn da nam zawsze liczbę parzystą, a więc aby policzyć moc:

|P x P|

musi zliczyć wszystkie pary:

(2,4), (10,10), (4,32), ...

Jednak zbiory liczb parzystych i nieparzystych to zbiory nieskończone. Oba są jednak zbiorami przeliczalnymi, bo:

N x N = 2n + 1 x 2n + 1
P x P = 2n x 2n

co dowodzi, że istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna, przekształcająca liczby naturalne na iloczyny kartezjańskie:

n --> N x N
n --> P x P

a to z kolei oznacza, że oba zbiory są równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych. Skoro tak to na mocy przechodniości zbiory mają taką samą moc:

|N x N| = |P x NP|

Comments

Benek a moje skojarzenie było, że chodzi o iloczyn wektorowy.

---

Tak to jest, kiedy zapis nie jest jednoznaczny albo autor daje zbyt mało informacji, co już zdarzało się na tym forum ;)

---

Myślę, że dobry dowód. Przepraszam ale sam nie wiedziałem zbyt dużo o tym zadania, takie otrzymałem od profesora. Ale teraz to wydaje mi się, ze N oznacza naturalne, P parzyste a NP nieparzyste. Czy to coś zmienia?

---

W takim wypadku mamy:

N x N = n x n
P x NP = 2n x 2n + 1

i rozważania o iloczynie liczby parzystej z nieparzystą (NP) należy usunąć z powyższego dowodu, bo nie mają sensu. Reszta pozostaje bez zmian.

Answer 2

N i P to jakieś randomowe liczby?

Answer 3

Zadanie ma następującą treść:

Pokaż, że : |NxN|=|PxNP|

Zadania z taką treścią to pewnie nawet ten profesor z matematyki nie byłby w stanie rozwiązać. Jakieś dane, szczegóły? N i P to jakieś zbiory, macierze, liczby?

Answer 4

Pokaż, że : |NxN|=|PxNP|

Jakoś nic mi to nie mówi. Podaj dział z matmy chociaż albo czego dotyczą te N i P.

Answer 5

Przedstaw sobie liczby parzyste jako 2n, a nieparzyste jako 2n + 1 i wyciągnij wnioski.

Answer 6

Przepraszam , nie powiedziałem. N to liczby nie parzyste, P to liczby parzyste