Logo to słowo nieodmienialne - to logo, tego logo.
Co do samego pytania, trudno zrobić coś takiego z kostką rubika w html/css/js, natomiast jeżeli chodzi o sam obrót i nic nie zmienianie w tym logo to nagraj w programie do 3d animacje obrotu logo w poszczególnych osiach, no i po kliknięciu w nie uruchom animacje (w formacie mp4, cokolwiek) obracania się.