var x=parseInt(prompt("Podaj liczbę początkową").value)
Występuje tutaj błąd parsowania. Musisz usunąć value, bo w zmiennej x po wynonaniu metody parseInt masz wartość NaN.
document.getElementById('wynik').innerHTML += x
Musi być +=, żeby Ci dodał kolejne elementy do innerHTML. W twoim starym kodzie nadpisywał istniejącą wartość.
<input type=button onClick="x()" value="Podaj">
Typ powinieneś zmienić z submit na button w przeciwnym wypadku w uproszczeniu "przeładuje" Ci stronę. Bardziej szczegółowe informację możesz znaleźć w linku poniżej:
http://stackoverflow.com/questions/290215/difference-between-input-type-button-and-input-type-submit
Poprawny kod wygląda następująco:
<!doctype html>
<html>
<head>
<title>Liczby całkowite z zakresu</title>
<meta charset="utf-8" />
</head>
<body>
<script>
function x()
{
document.getElementById('wynik').innerHTML = "";
var x=parseInt(prompt("Podaj liczbę początkową"))
var y=parseInt(prompt("Podaj liczbę końcową"))
if (x<=y){
for (var i=x;i<=y;i++){
document.getElementById('wynik').innerHTML += x;
x++;
}
}
}
</script>
<form>
<input type=button onClick="x()" value="Podaj">
<output id="wynik"></output>
</form>
</body>
</html>