Źle użyłeś instrukcji switch. Jeśli już chcesz z niej skorzystać, to wewnątrz nawiasów okrągłych po switch wpisujesz argument, który w odpowiednich case'ach obsługujesz. IMO lepszym rozwiązaniem i bardziej przejrzystym będą w tym wypadku trzy instrukcje warunkowe, co przedstawić można mniej więcej tak:
var x = prompt('Podaj zmienną x:');
var result = 'Liczba jest równa 0.';
if (isNaN(x)) result = 'Podana wartość nie jest liczbą.';
else if (x > 0) result = 'Liczba jest dodatnia.';
else if (x < 0) result = 'Liczba jest ujemna';
document.write(result);
Na początku przyjmujesz, że zmienna result jest po prostu wynikiem tego, co sobie rzucisz jako wynik. Inicjujesz jej wartość dla liczby równej zeru. Jeśli nastąpią przypadki takie jak: nieprawidłowy format liczby, albo klasyfikacja liczby jako dodatniej lub ujemnej to zmienisz wynik, który później wyrzucisz.