Sam znalazłem odpowiedź na moje pytanie. Może komuś kiedyś się przyda.
Aby przekazać pusty atrybut trzeba połączyć klucze w taki sposób:
content_tag(:div, render(menu.roots)), class: "dropdown", data:{dropdown:{menu: ""}})
Jednak ta składnia na 3 złączenia mi nie działała. Na SZCZĘŚCIE JEST coś takiego jak możliwość zadeklarowania klucza w stringu :D
content_tag(:div, render(menu.roots)), class: "dropdown", 'data-dropdown-menu' => "")