W zależności od wersji Laravela jakiej używasz sprawdź sobie w dokumentacji jakiej wersji PHP potrzebujesz. Z cba.pl może być problem bo mają na swoich serwerach trochę starą wersję PHP. Jak już będziesz miał to czego potrzebuje Laravel to wszystko to co masz w katalogu public na serwerze lokalnym wrzucasz do public_html na serwerze a całą "ważną" cześć aplikacji, tzn wszystko poza public, to co odpowiada za działanie strony do katalogu wyżej, tak żeby było bezpieczniej. Potem tylko w pliku index.php w katalogu public musisz zmienić ścieżkę i wszystko powinno działać bez problemu