Relacje równoważności - matematyka

pytanie zadane 17 stycznia 2017 w Matematyka, fizyka, logika przez Sterczix Początkujący (280 p.)

Witam! Z powodu choroby nie pojawiłem się na ostatnich ćwiczeniach m.in z relacji równoważności.

O ile już w miarę zrozumiałem temat na podstawie notatek to jednak są przykłady których całkowicie nie jestem w stanie zrozumieć.

Chociażby to:

Zad 1. W zbiorze X {a,b, c, d} dana jest relacja R. Sprawdzić, czy ta relacja jest: 1) zwrotna, 2) symetryczna, 3) przechodnia, 4) relacją równoważności. Jeżeli dana relacja jest relacją równoważności, to wyznaczyć klasy abstrakcji tej relacji.

Niby spoko ale nie rozumiem dlaczego to:
R {(a, a),(b,b),(c, c),(d, d),(b, c),(c,b)}
jest relacją równoważności, a to:
R {(a, a),(b,b),(c, c),(d, d),(a,b),(b, a),(b, c),(c,b)}
już nie.

Generalnie największy problem mam z relacją przechodniości oraz klasami abstrakcji ale akurat na tego typu przykładach nie idzie mi tak źle.

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć prostym językiem dlaczego pierwszy przykład się zgadza chociaż drugi ma te same pary + 2 dodatkowe?
Z góry dziękuję oraz pozdrawiam

Sterczix

komentarz 17 stycznia 2017 przez Benek Szeryf (90,870 p.)

Nie podałeś relacji R.

komentarz 17 stycznia 2017 przez Sterczix Początkujący (280 p.)

Relacjami są przykłady podane pod treścią zadania.

1 odpowiedź

odpowiedź 17 stycznia 2017 przez Benek Szeryf (90,870 p.)
wybrane 17 stycznia 2017 przez Sterczix

Najlepsza

Obie relacje są zwrotne oraz symetryczne. Bazując na PDF-ie najpierw wykażmy, że druga relacja nie jest przechodnia. Szukamy 3 elementów x, y, z takich, że:

V x,y,z e X [(xqy ^ yqz) => xqz]

Bierzemy więc pierwsze dwa elementy z brzegu:

(a,b) ^ (b,c) => (a,c)
  1   ^   1   =>   0 # Fałsz

Jednak elementu (a,c) druga relacja nie zawiera, co oznacza że nie jest przechodnia i nie musimy sprawdzać reszty. W przypadku pierwszej relacji szukamy takich składników, by znaleźć 3 elementy x, y, z. To jednak nie jest możliwe, bo dowolna kombinacja dwóch elementów z relacji, będzie zawierać tylko x, y lub x, z albo y, z. Nigdy nie znajdziemy trzech elementów, tak więc lewa strona implikacji zawsze będzie zerem. Zgodnie z logiczną tabelą implikacja będzie prawdą, niezależnie co będzie po prawej stronie implikacji. To oznacza, że relacja jest przechodnia, a więc spełnia 3 warunki by być relacją równoważności.

komentarz 17 stycznia 2017 przez Sterczix Początkujący (280 p.)

Okej, dzięki, myślę że załapałem chociaż wydaje mi się to jeszcze skomplikowane.
Jeżeli możesz to sprawdzisz mi jeszcze klasy abstrakcji?
Po mojemu to:
[a] = {a}
[d] = {d}
[b] = {b,c}
[c] = {c,b}